四年级是步入小学高年级的先进年,在这个年级打好基础对于小学升初中作用很大,数学是小学升初中中的重点学科,关于数学诊断的获奖证书也是不少学校的敲门砖,为了帮助各位同学复习好或者预习好四年级数学,小编给大家整理了小学四年级数学专题精讲(11):奇偶性分析。
小学四年级数学专题精讲(11):奇偶性分析
知识小结:
各种形式的构造问题,解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求,有时应从简单情形入手寻找规律.本讲的论证问题,一般采用奇偶性或整除性的分析方法.
一、奇偶数的运算规律:
1.两个奇数相加减得偶数,两个偶数相加减得偶数,即同奇偶的两个数相加减得偶数;
2.奇数与偶数相加减得奇数;
3.奇数个奇数相加得奇数,偶数个奇数相加得偶数,无论多少个偶数相加都得偶数;
4.一串数相乘,只要有一个乘数是偶数,积就是偶数;只有当乘数都是奇数的时候,积才是奇数;
5.有限个数之间无论如何添加加减号,奇偶性都不变.较简单的特例就是两个数的和与差同奇偶.
二、与奇偶分析有关的“能与不能”的判定问题:
1.判断“能”:需要构造出满足题目条件的情形;
2.判断“不能”:常用反证法(详见例题)
温馨提示:
每讲练题目题量 8道,前 5道题目难度较低,适合基础巩固;后 3道题难度中等,适合拓展提高。
本讲题目:
1.一条线段上分布着n个点,这些点的颜色不是黑的就是白的,它们将线段分为n+1段,已知线段两端的两个点都是黑的,而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数?
2.是否存在自然数a和b,使得ab(a+b)=115?
3.是否存在自然数a、b、c,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327?
4.你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中,使得每一行中的三个数之和都是偶数。
5.沿着河岸长着8丛植物,相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个.问:8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由.
6.在一本400页的书上,页码依次编号为1~ 400,能不能从中取出25张纸,并把上面的50个编号加起来,使和为2008?
7.甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上.他们将卡片背面朝上,任意混合之后,甲取走三张,乙取走两张.剩下的两张卡片,他们谁也没看,就放到麻袋里去了.甲认真研究了自己手中的三张卡片之后,对乙说:“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数.”试问:甲手中的三张卡片上都写了哪些数?答案是否.
8.甲同学一手握有写着23的纸片,另一只手握有写着32的纸片.乙同学请甲回答如下一个问题:“请将左手中的数乘以3,右手中的数乘以2,再将这两个积相加,这个和是奇数还是偶数?”当甲说出和为奇数时,乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中.你能说出是什么道理吗?
答案解析:
1.解析:因为中间的每一个点的两边各有一黑一白,所以所有的点一定是两个黑点、两个白点依次相邻(除了首尾可能出现一个黑点),所以白点都是成对出现的.所以白点的个数为偶数.
2.解析:不存在。此类问题引导孩子接触分类讨论的基本思想,即2个自然数在奇偶性的组合上只有3种情况,“2奇0偶,1奇1偶,0奇2偶”,可以分别讨论发现均不成立。
3.解析:不存在。可以分情况来讨论:3奇0偶,2奇1偶,1奇2偶,0奇3偶。但是比较繁琐,可以根据45327是一个奇数,只有奇数乘以奇数才能得到,所以a-b、b-c、a-c都为奇数,再根据奇偶性进行判断。
4.解析:不能。此题孩子容易想到九宫格数阵问题,其实不是。1到9中共有5个奇数,分别分成3组后会分布在每一行里面,也就是说要想实现每一行都是偶数,就需要每一行都有偶数个奇数,从而需要三行奇数的和是偶数,但是现在仅有5个奇数,所以无法填入。
5.解析:不能。本题为俄罗斯小孩子数学诊断题,可以给孩子介绍。相邻的两个植物果实数目差1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同,所以一定有4棵植物的果实为奇数个,总和一定为偶数,不能为225.
6.解析:因为每一张纸上的页码之和为奇数,而25个奇数之和为奇数,所以和不可能是偶数2008.
7.解析:甲手中的8张卡片上分别写了6,8和10.甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数,但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中.因此,只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时,甲才能说出自己的断言.而这就意味着,这4张卡片上所写的数的奇偶性相同,亦即或者都是偶数,或者都是奇数.但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数,所以它们不可能都是偶数,从而只能都是奇数.于是3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中.答案是的.
8.解析:甲的两张纸片,23是奇数,32是偶数.因此,只要能判断出甲的左手中握的是奇数,即可知左手的是23.设甲左手握的数为a,右手握的数为b,乙同学请甲所得结果为c,则3´a + 2´b = c.⑴若c为奇数,则3´ a为奇数,所以左手握的数a是奇数.⑵若c为偶数,则3´ a为偶数,所以左手握的数a是偶数.因此,从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性,从而确定左手握的数是23还是32.在本题中,c为奇数,因此合于第(1)种情况,a是奇数,即左手中握的是23.